O método de diferenças finitas no esquema Crank-Nicolson foi implementado utilizando o software de computação numérico-simbólica Wolfram Mathematica 10.0 para em seguida ser aplicado aos modelos quânticos de Friedmann-Robertson-Walker fechados com um fluido de radiação e um gás de Chaplygin generalizado. A dinâmica quântica desses modelos é descrita pela equação de Wheeler-DeWitt, que assume a forma de uma equação de Schrödinger dependente do tempo quando utilizado um potencial efetivo na forma de uma barreira de potencial. Soluções numéricas para esta equação foram obtidas e calculada a probabilidade de tunelamento quântico, ou seja, a probabilidade de a função de onda atravessar uma barreira de potencial com energia menor que a energia máxima da mesma. Para energias próximas ao topo da barreira de potencial, os resultados da probabilidade de tunelamento concordam com os resultados fornecidos pela aproximação WKB. A norma da função de onda também foi calculada, em diferentes instantes de tempo. Pelos resultados gerados, notou-se que com o aumento do número de pontos da malha espacial, o valor da norma se aproxima de 1, indicando assim uma boa convergência do método implementado.
The finite difference method in the Crank-Nicolson scheme was implemented using the Wolfram Mathematica 10.0 numerical-symbolic computation software to then be applied to Friedmann-Robertson-Walker quantum models enclosed with a radiation fluid and a generalized Chaplygin gas. The quantum dynamics of these models is described by the Wheeler-DeWitt equation, which takes the form of a time-dependent Schrödinger equation when an effective potential is used in the form of a potential barrier. Numerical solutions for this equation were obtained and the quantum tunneling probability, that is, the probability of the wave function to cross a potential barrier with energy smaller than the maximum energy of the barrier, was calculated. For energies near the top of the potential barrier, the tunneling probability results agree with the results provided by the WKB approach. The norm of the wave function was also calculated, at different instants of time. From the results generated, it was noticed that with the increase of the number of points of the space mesh, the value of the norm approaches 1, indicating a good convergence of the method.
