In this thesis we present a new approach to deal with first order ordinary differential equations (1ODEs) presenting elementary functions. The method we developed is na alternative to the procedure that was presented in (1, 2). In (3), a theoretical basis was established to deal with second order rational ordinary differential equations (rational 2ODEs) - the S-function method - that presents (at least) a Liouvillian first integral. Here, we combine the technique used in (3) with an idea analogous to that used in (1, 2) in order to produce a method that proved to be very efficient in a large number of cases in which the most powerful traditional generalist methods (the Lie and Darboux methods) present difficulties. The procedure we present here for solving 1ODEs is placed on a solid mathematical basis and two of the main algorithms were implemented in a computational package (LeapS1ode) in Maple. The LeapS1ode package includes commands that allow obtaining all the intermediate steps of the 1ODEs resolution process and has a design that makes it very useful for research (both in physics and mathematics) and especially effective in finding regions of integrability for 1ODEs that presenting parameters.
Nesta tese apresentamos uma nova abordagem para lidar com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (1ODEs) que apresentam funções elementares. O método que desenvolvemos ´e uma alternativa para o procedimento que foi apresentado em (1, 2). Em (3), foi estabelecida uma base teórica para lidar com equações diferenciais ordinárias racionais de segunda ordem (2ODEs racionais) – o método da função S – que apresentavam (pelo menos) uma integral primeira Liouvilliana. Nesta tese, combinamos a técnica utilizada em (3) com uma ideia análoga `aquela usada em (1, 2) e produzimos um método que se provou muito eficiente e bastante abrangente em um grande número de casos nos quais os métodos generalistas tradicionais mais poderosos (os métodos de Lie e Darboux) apresentam dificuldades. O procedimento que apresentamos aqui para resolver 1ODEs está colocado em uma base matemática sólida e dois dos algoritmos principais foram implementados em um pacote computacional (LeapS1ode) em Maple. O pacote LeapS1ode inclui comandos que permitem a obtenção de todas as etapas intermediárias do processo de resolução de 1ODEs e possui um desenho que o torna muito útil para a pesquisa (tanto em física como em matemática) e especialmente eficaz na busca de regiões de integrabilidade para 1ODEs que apresentam parâmetros.
