Método de alta ordem para ajuste de passo de tempo local para resolução numérica de equações diferenciais evolutivas com o uso de análise multirresolução adaptativa
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Numerical solutions of evolutionary partial differential equations (PDEs) that have unique structures located in their solutions have wide applications in the are as of Space Science, as in hydrodynamics and magnetohydrodynamics. Traditional methods for solving those PDEs, such as finite differences or finite volumes, make the computations very expensive. For this reason, many studies have developed numerical techniques to make these PDEs resolution computationally feasible. Here, the efforts use the finite volume method aided by adaptive multiresolution techniques. The purpose is to measure the local regularity of the solution in order to generate a computational mesh spatially adapted to the solution, i.e, to produce a greater refinement in less smooth behavior regions of the solution. The time evolution is performed by a technique which the time step is locally adjusted to the adaptive mesh. In it, each cell is individually evolved in time with a step size proportional to its size, and in accordance to the stability condition observed by the finer mesh. Such a technique has already been applied to low orders methods. In case of higher orders, however, there is the problem of synchronizing the time between the solution of adjacent cells with different levels of resolution. This work solves this problem proposing a new approach to deal with it by applying the Natural Continous Extensions for Runge-Kutta Methods.
Resoluções numéricas de equações diferenciais parciais (EDPs) evolutivas que apresentam estruturas singulares localizadas em suas soluções têm ampla aplicação nas áreas das Ciências Espaciais, como em hidrodinâmica e magneto-hidrodinâmica. Os métodos tradicionais para resolver essas EDPs, tais como diferenças finitas ou volumes finitos, podem tornar a simulação de tais EDPs muito dispendiosa. Por essa razão, muitos estudos desenvolvem técnicas numéricas adaptativas capazes de tornar as resoluções numéricas dessas EDPs mais viáveis computacionalmente. Neste trabalho utiliza-se o método de volumes finitos auxiliado por técnicas de multirresolução adaptativa para o domínio espacial. O propósito é medir a regularidade local da solução a fim de gerar uma malha computacional adaptada espacialmente à solução, ou seja, produzir um maior refinamento nas regiões de comportamento menos suaves da solução. A evolução temporal é feita por meio de uma técnica em que o passo de tempo é ajustado localmente a malha espacial adaptativa. Dessa forma, cada célula é evoluída no tempo individualmente, com um passo de evolução temporal proporcional ao seu tamanho e de acordo com a condição de estabilidade respeitada pela malha mais refinada. Tal procedimento já foi aplicado com sucesso para métodos de baixa ordem. Entretanto, para ordens superiores existe o problema de sincronização da solução no tempo entre células adjacentes com níveis diferentes de resolução. Este trabalho resolve este problema ao propor uma abordagem inovadora para lidar com esse problema, a utilização de métodos de Runge-Kutta contínuos.
