Optimization problems which have two or more global optimal solutions are known as global multimodal problems. Obtaining all global solutions for this kind of problems can be important and lead to a hard task. This work proposes two methodologies that links optimization methods and clustering to find all optimal solutions of a global multimodal problem. We run a given number of iterations of the evolutionary algorithm Harmony Search to create small groups around each point of global optimum to a n-dimensional function. Then, we use Laplacian Eigenmap to identify these clusters and represent them in a space of smaller dimension, possibly. Subsequently, we classify each cluster using k-means in reduced dimension or by smoothing the distance matrix and we obtain an estimate to each global optimum point. After that, we use the Hooke-Jeeves deterministic algorithm to obtain a global optimum point from each of the estimates. To verify the proposed methodology we use test functions, initially defined in a two-dimensional space. Thereafter, we use functions defined on spaces of higher dimension. The methodologies were also applied to a real engineering problem which corresponds to the refrigerant system ammonia + R-125. The results indicate that the methodologies are able to construct good approximations of the optimum points.
Problemas de otimização que possuem dois ou mais pontos de ótimo global são chamados de problemas globalmente multimodais. A obtenção de todas as soluções neste tipo de problema pode ser importante e resultar em uma árdua tarefa. Este trabalho propõe duas metodologias que fazem junção de métodos de otimização e agrupamento com o objetivo de encontrar todos os ótimos de um problema globalmente multimodal. Para tal, utiliza-se um determinado número de iterações do algoritmo evolutivo Busca Harmônica (Harmony Search) para que os indivíduos se dividam em subgrupos em torno de cada ponto de ótimo global de uma dada função n-dimensional. Em seguida, usa-se o Laplacian Eigenmap para identificar estes grupos e, possivelmente, representá-los em dimensão menor. Posteriormente, faz-se a classificação de cada grupo em dimensão reduzida utilizando o k-means ou através da suavização da matriz de distância, e obtém-se uma estimativa para cada ponto de ótimo global. Por fim, utiliza-se o algoritmo determinístico Hooke-Jeeves para a obtenção dos pontos de ótimo global a partir de cada uma das estimativas. Para verificar as metodologias propostas foram utilizadas funções teste, inicialmente definidas em um espaço bidimensional, para que fosse observado todo o processo. Posteriormente, utilizou-se funções teste definidas em espaço de dimensão maior. As metodologias foram ainda aplicadas a um problema real de engenharia que corresponde ao sistema refrigerante amônia + R-125. Os resultados indicam que as metodologias são capazes de formar boas aproximações dos pontos de ótimo global.
