A gradient extremum seeking for compensating wave actuator dynamics in cascade with static scalar maps is proposed to address a problem inspired by a specific engineering application related to drilling of oil wells. This class of Partial Differential Equations (PDEs) - Wave equation - for extremum seeking has not been studied yet. A dynamic feedback control law based on distributed parameters is proposed by employing backstepping transformation with an appropriate target system and an adequate formulation using Neumann interconnections. Local stability and convergence to a small neighborhood of the desired (but unknown) extremum is proved by means of a Lyapunov functional and the theory of averaging in infinite dimensions. The extension for wave equations with Dirichlet actuation, antistable wave PDEs as well as the design for the delay-wave PDE cascade are also discussed. Numerical simulations illustrate the theoretical results.
É proposta uma estratégia de controle extremal baseada no método do gradiente para a compensação da dinâmica de atuação da equação diferencial parcial (EDP) da onda em cascata com um mapeamento estático. Este problema é inspirado em uma aplicação específica de engenharia, relacionada à perfuração de poços de petróleo. Esta classe de EDPs - equação da onda - associada ao controle extremal ainda não foi estudada na literatura. A partir de uma transformação do tipo backstepping, e de uma formulação adequada usando condições de Neumann, apresenta-se a lei de controle dinâmica baseada em parâmetros distribuídos. A estabilidade local e a convergência para uma pequena vizinhança do ponto de extremo desejado (desconhecido) são provadas a partir de uma função de Lyapunov e da teoria da média em dimensões infinitas. Apresenta-se também a extensão dos resultados para a equação da onda anti-estáveis com condições de Dirichlet e a aplicação do controle extremal para cascatas e interconexões de EDPs envolvendo a equação da onda e outras equações hiperbólicas de atraso de transporte. Simulações numéricas ilustram os resultados teóricos.
